1	Sistem Bilangan Dan Pengkodean

1. Sistem Bilangan

Rangkaian digital merupakan dasar pada desain suatu sistem komputer dan banyak digunakan sistem kontrol otomasi di perindustrian. Dengan teknik digital dan pengembangan teknologinya maka penggunaanya juga meluas ke berbagai bidang di kehidupan manusia.

Bilangan desimal adalah suatu sistem bilangan yang akrab dengan manusia. Tapi komputer hanya dapat mengolah bilangan – bilangan biner, yang kemudian menjadi tidak ada bedanya dengan digital, hanya mengenal bilangan 1 dan 0 saja. Komputer juga menggunakan sitem bilangan yang lain yang tidak akrab dipergunakan manusia.

Berikut adalah tabel sistem bilangan yang pernah diketahui. Sistem bilangan yang diikuti keterangan dalam kurung menjadi kajian modul mata kuliah ini.

Sistem Bilangan	Radiks	Digit Mutlak
Binary ( BINER )	2	01
Ternary	3	012
Quarternary	4	0123
Quinary	5	01234
Senary	6	012345
Septenary	7	0123456
Octenary ( OCTAL )	8	01234567
Nonary	9	012345678
Denary ( DECIMAL )	10	0123456789
Undenary	11	0123456789A
Duodenary	12	0123456789AB
Tradenary	13	0123456789ABC
Quatuordenary	14	0123456789ABCD
Quidenary	15	0123456789ABCDE
Hexadenary ( HEXADECIMAL )	16	0123456789ABCDEF

Beberapa ketidak sesuaian penetapan sistem bilangan dengan urutan bulan pada kalen-der masehi.

Septenary = 7 → September bulan ke 9, bukan bulan ke 7 ?

Octenary = 8 → Oktober bulan ke 10, bukan bulan ke 8 ?

Denary = 10 → Desember bulan ke 12, bukan bulan ke 10 ?

( Ada sukarelawan yang menjelaskan ini ? )

1.1. Bilangan Desimal , basis 10

Bilangan Desimal merupakan bilangan berbasis ( ber - radiks, ber - ordo )10. Dapat ditulis dengan bilangan desimal x ( ₁₀ ). Artinya mempunyai deret bilangan dengan sepuluh bilangan di setiap tingkatannya. Misalnya tingkatan terendah ( satuan ) deretannya adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ( 10 bilangan ), tingkatan selanjutnya ( puluhan ) 10, 11, 12, 13, 14, ,15, 16, 17, 18, 19 ( 10 bilangan ) dan seterusnya.

Untuk itu berlaku deret / bobot kepangkatan seperti pada tampilan berikut ini

10 n	. . .	10 3	10 2	10 1	10 0	10 -1	10 -2	10 -3	. . .	10 -n
Integer ( bilangan bulat desimal )						Pecahan
10 0 = 1 10 1 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1000 dan seterusnya						10 -1 = 0. 1 10 -2 = 0. 01 10 -3 = 0. 001 dan seterusnya

Contoh : Suatu bilangan Desimal 4 digit 4735 ( dibaca : “ empat ribu tujuh ratus tiga puluh lima “ ) direpresentasi ulang ke dalam sistem bilangan Desimal lagi.

Maka setiap posisi digitnya direpresentasi sesuai bobot kepangkatannya, seperti yang terlihat berikut ini,

→ Arah baca

4		7		3		5 (10)
								5 X 10 º =	5
								3 X 10 ¹ =	30
								7 X 10 ² =	700
								4 X 10 ³ =	4000
+									4735

Contoh di atas, menunjukan suatu prosedur pengonversian suatu bilangan x ( Desimal ) ke dalam bilangan desimal dengan menggunakan basis, radiks, ordo bilangan itu sendiri.

Untuk seterusnya bila suatu sistem bilangan diinginkan untuk dikonversi ke dalam bilangan desimal, adalah dengan cara menyusun / merepresentasikan deret kepangkatan sistem bilangan itu sendiri.

1.2. Bilangan Biner , basis 2

Bilangan Biner merupakan bilangan berbasis 2. Dapat ditulis dengan bilangan biner x ( ₂ ). Sistem bilangan ini hanya mempunyai dua bilangan 0 dan 1 saja. Dalam sistem digital, merupakan dua keadaan tegangan arus searah ( DC ) 0 Volt dan 5 volt saja. Kelompok terkecil bilangan Biner dinamakan nibble, terdiri dari 4 bit / digit. Kelompok berikutnya terdiri dari 8 bit yang dapat pula dinamakan byte. Berikut aturan dasar untuk bilangan biner

← Arah baca

Nibble		1	0	1	0	(2)
		MSB			LSB
Byte		1	0	1	0	1	0	1	1	(2)
		MSB							LSB

Deret bit dibaca dari kanan / LSB ( Least Significant Bit ), bit dengan bobot terkecil. Diteruskan kearah kiri setiap bit hingga di bit paling kiri / MSB ( Most Significant Bit ), bit dengan bobot terbesar.

Berlaku pula deret / bobot kepangkatan seperti pada tampilan berikut ini

2 n	. . .	2 3	2 2	2 1	2 0	2 -1	2 -2	2 -3	. . .	2 -n
Integer						Fraktional / Pecahan
2 0 = 1 2 1 = 2 2 2 = 4 2 3 = 8 2 4 = 16 2 5 = 32 2 6 = 64 2 7 = 128 2 8 = 256 2 9 = 512 2 10 = 1024 2 11 = 2048 dan seterusnya						2 -1 = 0. 5 2 -2 = 0. 25 2 -3 = 0. 125 dan seterusnya

Tampilan diatas menunjukkan deret pangkat bilangan positif menghasilkan kesetaran integer bilangan bulat positif. Dalam sistem digital terkadang dijumpai bilangan biner yang mempunyai bobot tertentu yang mengakibatkan nilainya kurang dari 1. Jenis ini disebut sebagai bilangan biner fraktional. Kepangkatan negatif menghasilkan bilangan pecahan

Contoh : 01010110 (₂) = ? (₁₀); konversikan biner ke desimal !

Jawab :

1		1		0		1		1		0		0		1
																1 X 2 0 =	1
																0 X 2 1 =	0
																0 X 2 2 =	0
																1 X 2 3 =	8
																1 X 2 4 =	16
																0 X 2 5 =	0
																1 X 2 6 =	64
																1 X 2 7 =	128
																	217

Atau

( 1 x 2⁷ )+( 0 x 2⁶ )+( 0 x 2⁵ )+( 1 x 2⁴ )+( 1 x 2³ )+( 0 x 2² )+( 1 x 2¹ )+( 1 x 2⁰ ) = 217

Jawab : 10011011 _{(2 )} = 217 ₍₁₀₎

Contoh : 1101 . 1001 = ? _{( 10 );} konversikan bilangan biner fraktional ke desimal !

1		0		0		1 . 1				0		1		1
																1 X 2 - 4 =	0, 0625
																1 X 2 - 3 =	0, 125
																0 X 2 - 2 =	0
																1 X 2 - 1 =	0, 5
																1 X 2 0 =	1
																0 X 2 1 =	0
																1 X 2 2 =	4
																1 X 2 3 =	8
																	13, 6875

				27		26		25		24		23		22		21		20
				1		1		1		0		1		0		1		0
234
- 128	→	27
106
- 64	→	26
42
- 32	→	25
10
- 8	→	23
2
- 2	→	21
0

Arah baca 

234 : 2 =	117	Sisa	0 ( LSB )
117 : 2 =	58	Sisa	1
58 : 2 =	29	Sisa	0
29 : 2 =	14	Sisa	1
14 : 2 =	7	Sisa	0
7 : 2 =	3	Sisa	1
3 : 2 =	1	Sisa	1
1 : 2 =	0	Sisa	1 ( MSB )

Contoh di atas, menunjukan suatu prosedur pengonversian suatu bilangan x ( Desimal ) ke dalam bilangan desimal dengan menggunakan basis, radiks, ordo bilangan itu sendiri.

Untuk seterusnya bila suatu sistem bilangan diinginkan untuk dikonversi ke dalam bilangan desimal, adalah dengan cara menyusun / merepresentasikan deret kepangkatan sistem bilangan itu sendiri.

1.3. Bilangan Oktal , basis 8

Bilangan merupakan bilangan berbasis delapan x _{(8 ).} Deretnya adalah 0,1,2,3,4,5,6,7.

Sistem bilangan oktal adalah suatu sistem bilangan yang umum digunakan pada sistem komputer yang khusus mengerjakan masalah-masalah scientific (scientific-oriented computer), akan tetapi jarang dipakai dalam bahasa rakitan.

Pengonversian bilangan oktal ke desimal dapat dilakukan dengan cara seperti pengonversian pada biner ke desimal. Yaitu deret bilangan octal tersebut dikalikan dengan bobot kepangkatannya.

Contoh : 3572 _{( 8 )} = ? _{( 10 );} konversikan bilangan biner fraktional ke desimal !

1		1		0				1		2		7		5
																5 X 8 0 =	5
																7 X 8 1 =	56
																2 X 8 2 =	128
																	189

Sedangkan mengkonversi dari oktal ke biner dilakukan dengan cara mengelompokan 3 bit untuk setiap digit oktal.

Contoh :

Konversikan 276 bilangan oktal ke desimal ?

276 oktal = (2 * 82 + 7 * 81 + 6 * 80)

= 128 + 56 + 6 = 190 (desimal)

1. Konversikan 1011001 bilangan biner ke oktal ?

Dengan demikian 1011101 (biner) = 135 (oktal)

--- prof ---

2. Konversikan 96 desimal menjadi bilangan oktal ?

Untuk selanjutnya setiap membicarakan sistem bilangan oktal digunakan singkatan O atau ₈ dibelakang bilangan yang dimaksud.

Contoh : 753 o atau 753₈ artinya 753 dalam sistem bilangan oktal.

4. SISTEM BILANGAN HEXADESIMAL

Kita akan bingung atau malahan menjadi salah lihat atau salah tulis kalau rangkaian biner terlalau panjang walaupun komputer tidak merasakannya. Seperti contoh 10110101 adalah biner untuk 181 (desimal). Untuk mudahnya kita buat bilangan biner yang panjang tersebut menjadi 4 kelompok bits dimulai dari sebelah kanan (least significant bit / LSB) sampai sebelah kiri (most significant bit / MSB).

Dengan demikian pada contoh 10110101 dapat dikelompokan sebagai berikut :

Hexa	Desimal	Oktal	Biner
00	000	000	0000 0000
01	001	001	0000 0001
02	002	002	0000 0010
03	003	003	0000 0011
04	004	004	0000 0100
05	005	005	0000 0101
06	006	006	0000 0110
07	007	007	0000 0111
08	008	010	0000 1000
09	009	011	0000 1001
0A	010	012	0000 1010
0B	011	013	0000 1011
0C	012	014	0000 1100
0D	013	015	0000 1101
0E	014	016	0000 1110
0F	015	017	0000 1111
10	016	020	0001 0000
11	017	021	0001 0001
12	018	022	0001 0010
13	019	023	0001 0011
14	020	024	0001 0100
15	021	025	0001 0101
16	022	026	0001 0110
17	023	027	0001 0111
18	024	030	0001 1000
19	025	031	0001 1001
1A	026	032	0001 1010
1B	027	033	0001 1011
1C	028	034	0001 1100
1D	029	035	0001 1101
1E	030	036	0001 1110
1F	031	037	0001 1111
20	032	040	0010 0000
21	033	041	0010 0001
22	034	042	0010 0010
23	035	043	0010 0011
24	036	044	0010 0100
25	037	045	0010 0101
26	038	046	0010 0110
27	039	047	0010 0111
28	040	050	0010 1000
29	041	051	0010 1001
2A	042	052	0010 1010
2B	043	053	0010 1011
2C	044	054	0010 1100
2D	045	055	0010 1101
2E	046	056	0010 1110
2F	047	057	0010 1111
30	048	060	0011 0000
31	049	061	0011 0001
32	050	062	0011 0010
33	051	063	0011 0011
34	052	064	0011 0100
35	053	065	0011 0101
36	054	066	0011 0110
37	055	067	0011 0111
38	056	070	0011 1000
39	057	071	0011 1001
3A	058	072	0011 1010
3B	059	073	0011 1011
3C	060	074	0011 1100
3D	061	075	0011 1101
3E	062	076	0011 1110
3F	063	077	0011 1111
40	064	100	0100 0000
41	065	101	0100 0001
42	066	102	0100 0010
43	067	103	0100 0011
44	068	104	0100 0100
45	069	105	0100 0101
46	070	106	0100 0110
47	071	107	0100 0111
48	072	110	0100 1000
49	073	111	0100 1001
4A	074	112	0100 1010
4B	075	113	0100 1011
4C	076	114	0100 1100
4D	077	115	0100 1101
4E	078	116	0100 1110
4F	079	117	0100 1111
50	080	120	0101 0000
51	081	121	0101 0001
52	082	122	0101 0010
53	083	123	0101 0011
54	084	124	0101 0100
55	085	125	0101 0101
56	086	126	0101 0110
57	087	127	0101 0111
58	088	130	0101 1000
59	089	131	0101 1001
5A	090	132	0101 1010
5B	091	133	0101 1011
5C	092	134	0101 1100
5D	093	135	0101 1101
5E	094	136	0101 1110
5F	095	137	0101 1111
60	096	140	0110 0000
61	097	141	0110 0001
62	098	142	0110 0010
63	099	143	0110 0011
64	100	144	0110 0100
65	101	145	0110 0101
66	102	146	0110 0110
67	103	147	0110 0111
68	104	150	0110 1000
69	105	151	0110 1001
6A	106	152	0110 1010
6B	107	153	0110 1011
6C	108	154	0110 1100
6D	109	155	0110 1101
6E	110	156	0110 1110
6F	111	157	0110 1111
70	112	160	0111 0000
71	113	161	0111 0001
72	114	162	0111 0010
73	115	163	0111 0011
74	116	164	0111 0100
75	117	165	0111 0101
76	118	166	0111 0110
77	119	167	0111 0111
78	120	170	0111 1000
79	121	171	0111 1001
7A	122	172	0111 1010
7B	123	173	0111 1011
7C	124	174	0111 1100
7D	125	175	0111 1101
7E	126	176	0111 1110
7F	127	177	0111 1111
80	128	200	1000 0000
81	129	201	1000 0001
82	130	202	1000 0010
83	131	203	1000 0011
84	132	204	1000 0100
85	133	205	1000 0101
86	134	206	1000 0110
87	135	207	1000 0111
88	136	210	1000 1000
89	137	211	1000 1001
8A	138	212	1000 1010
8B	139	213	1000 1011
8C	140	214	1000 1100
8D	141	215	1000 1101
8E	142	216	1000 1110
8F	143	217	1000 1111
90	144	220	1001 0000
91	145	221	1001 0001
92	146	222	1001 0010
93	147	223	1001 0011
94	148	224	1001 0100
95	149	225	1001 0101
96	150	226	1001 0110
97	151	227	1001 0111
98	152	230	1001 1000
99	153	231	1001 1001
9A	154	232	1001 1010
9B	155	233	1001 1011
9C	156	234	1001 1100
9D	157	235	1001 1101
9E	158	236	1001 1110
9F	159	237	1001 1111
A0	160	240	1010 0000
A1	161	241	1010 0001
A2	162	242	1010 0010
A3	163	243	1010 0011
A4	164	244	1010 0100
A5	165	245	1010 0101
A6	166	246	1010 0110
A7	167	247	1010 0111
A8	168	250	1010 1000
A9	169	251	1010 1001
AA	170	252	1010 1010
AB	171	253	1010 1011
AC	172	254	1010 1100
AD	173	255	1010 1101
AE	174	256	1010 1110
AF	175	257	1010 1111
B0	176	260	1011 0000
B1	177	261	1011 0001
B2	178	262	1011 0010
B3	179	263	1011 0011
B4	180	264	1011 0100
B5	181	265	1011 0101
B6	182	266	1011 0110
B7	183	267	1011 0111
B8	184	270	1011 1000
B9	185	271	1011 1001
BA	186	272	1011 1010
BB	187	273	1011 1011
BC	188	274	1011 1100
BD	189	275	1011 1101
BE	190	276	1011 1110
BF	191	277	1011 1111
C0	192	300	1100 0000
C1	193	301	1100 0001
C2	194	302	1100 0010
C3	195	303	1100 0011
C4	196	304	1100 0100
C5	197	305	1100 0101
C6	198	306	1100 0110
C7	199	307	1100 0111
C8	200	310	1100 1000
C9	201	311	1100 1001
CA	202	312	1100 1010
CB	203	313	1100 1011
CC	204	314	1100 1100
CD	205	315	1100 1101
CE	206	316	1100 1110
CF	207	317	1100 1111
D0	208	320	1101 0000
D1	209	321	1101 0001
D2	210	322	1101 0010
D3	211	323	1101 0011
D4	212	324	1101 0100
D5	213	325	1101 0101
D6	214	326	1101 0110
D7	215	327	1101 0111
D8	216	330	1101 1000
D9	217	331	1101 1001
DA	218	332	1101 1010
DB	219	333	1101 1011
DC	220	334	1101 1100
DD	221	335	1101 1101
DE	222	336	1101 1110
DF	223	337	1101 1111
E0	224	340	1110 0000
E1	225	341	1110 0001
E2	226	342	1110 0010
E3	227	343	1110 0011
E4	228	344	1110 0100
E5	229	345	1110 0101
E6	230	346	1110 0110
E7	231	347	1110 0111
E8	232	350	1110 1000
E9	233	351	1110 1001
EA	234	352	1110 1010
EB	235	353	1110 1011
EC	236	354	1110 1100
ED	237	355	1110 1101
EE	238	356	1110 1110
EF	239	357	1110 1111
F0	240	360	1111 0000
F1	241	361	1111 0001
F2	242	362	1111 0010
F3	243	363	1111 0011
F4	244	364	1111 0100
F5	245	365	1111 0101
F6	246	366	1111 0110
F7	247	367	1111 0111
F8	248	370	1111 1000
F9	249	371	1111 1001
FA	250	372	1111 1010
FB	251	373	1111 1011
FC	252	374	1111 1100
FD	253	375	1111 1101
FE	254	376	1111 1110
FF	255	377	1111 1111

TABEL SISTEM BILANGAN 8 BIT